Chiều noether của môđun artin

ở
(R, m) ị tr ớ ự
t m; M R ữ s A R rt ú t
ết ệ tí s ề r ữ ệ
ủ ì ọ số số t q ó ờ t ó
tể ó trú ủ t số trú ủ tr
ữ s tr ú ề r ủ ột ữ
s M ý ệ dim M ợ ị ĩ ề r ủ R/ Ann M
t ó ị ý ủ ý tết ề s
(M) = dim M = d(M),
tr ó (M) số t ỏ t s tồ t ột tử
a
1
, . . . , a
t
m ể ộ ủ M/(a
1
, . . . , a
t
)M ữ d(M)
ủ tứ rt P
M,I
(n) ứ ớ ị ĩ I
ệ ố ớ ề r ột rt ợ ớ tệ
ở rt s ó r ổ t t ề tr
ý ệ N-dim ể tr ớ ề r ợ ị ĩ
tr ột số ết q t ột ĩ ó ợ
ố ớ ết q ề ề r ữ s ợ
r ệt rts ứ ột ết q ề tí ữ
ủ ề tr ố ệ ữ ề tr ớ ủ tứ
rt ủ rt tr tr s ó r
ờ ở rộ ết q tr ủ rts
t ỳ
N-dim A = deg(
R
(0 :
A
m
n
))
= inf{t 0 : a
1
, . . . , a
t
m :
R
(0 :
A
(a
1
, . . . , a
t
)R) < }.
ừ ết q tr ột tự ó tể ị ĩ ệ ệ t
số ệ ộ rt t q ề tr

ế t ề t ũ ù ề tr ể ứ
trú ủ rt ệt t ờ
ó ữ ứ s ề ề tr q t
ệt tớ ề tr ủ ố ồ ề ị ú
rt t ợ ột số ết q tú ị ứ tỏ ệ ề tr
t ột ĩ ó ù ợ ớ ố ồ ề ị
tự ề r ủ ữ s ột tự ố
ớ ỗ rt A ề r dim
R
A ũ ợ ể ề r
ủ R/ Ann
R
A ột ết q q trọ tr ứ ố
q ệ ữ ề tr ề r ủ rt tr trờ ợ
tổ qt N-dim
R
A dim
R
A ữ ỉ r ữ trờ ợ r
N-dim
R
A < dim
R
A ệt ết q t ờ tr t ề
ệ ủ ể ề tr ủ ột rt ề r ủ
ó
Ann
R
(0 :
A
p) = p, p V (Ann
R
A). ()
ú ý r ố ớ ỗ R ữ s M t ổ ề
t ó tí t Ann
R
M/pM = p, ớ ọ tố p ứ
Ann
R
M õ r r R ủ tì ớ ỗ R rt
A t ố ts t ó ó Ann
R
(0 :
A
p) = p ớ ọ
tố p ứ Ann
R
A t tr t ỳ
ọ rt A ề tỏ ề ệ ột ề tú ị ữ ờ
ề ệ () t ó tể tr ợ tí tr ủ trộ
Usupp
R
M ủ M t q ố ồ ề ị
t H
d
m
(M) tí trộ tí tr ổ ụ
ủ ố ồ ề ị H
i
m
(M)
ụ í ủ trì ứ tết ết q
ớ tệ ở tr tr ủ ờ
ột ết q ủ ủ rts r

ờ ợ
ế tứ tết q ế ộ ủ ợ ẽ
tr
1 ớ tệ ệ ề tr ứ ột số ết
q ề ề tr ủ rt ệt ứ tí ữ
ủ ề tr ố ệ ữ ề tr ớ ủ tứ
rt ủ ột rt
2 ể ứ ết q ề ề tr ủ
ố ồ ề ị ủ ột R ữ s ú
rt ố q ệ ữ ề tr ủ ố ồ ề ị
tứ i ớ ỉ số i ề tr ủ ố ồ ề ị
t ớ ề r ủ ữ s
3 trì ố q ệ ữ ề tr ề r ủ
rt tr trờ ợ tổ qt N-dim
R
A dim
R
A ỉ r ữ
trờ ợ r ỏ tự sự ề ệ ủ ể ề
tr ủ ột rt ề r ủ ó
P ết ủ tổ ết t ộ ết q t ợ


ề tr tứ rt
r t ộ t ý ệ R tr
t tết ị tết ị sẽ ợ tr
từ trờ ợ ụ tể M R A R rt ụ í ủ
ớ tệ ệ ề tr ột tỳ ý
ột số ết q ề ề tr rt ết q í ủ
ứ tí ữ ủ ề tr ố ệ ữ ề
tr ớ ủ tứ rt ủ rt ết q ợ
ớ tệ ở rts ị s ó r
ờ ở rộ tr
ề tr
ệ ố ớ ề r ột tỳ ý ợ
ớ tệ ở rts ở ó ũ r ột số ết q ề
ề r rt ó r tr ổ tt ữ
ủ rts ề ị t ề tr N-dim ể tr ớ
ề r ợ ị ĩ tr ị ĩ s t
t tt ữ ủ r

ị ĩ ề tr ủ M ý ệ ở N-dim
R
M,
ợ ị ĩ q s
M = 0, t N-dim
R
M = 1.
ớ M = 0, ột số d 0, t t N-dim
R
M = d ế
N-dim
R
M < d s ớ ỗ t M
0
M
1
. . .
ủ M, tồ t số n
0
s N-dim
R
(M
n+1
/M
n
) < d, ớ ọ
n > n
0
.
í ụ M R ó M R
tr ỉ N-dim
R
M = 0. t sử M R
tr ì ọ t M
0
M
1
. . . M
n
. . .
ủ M ề ừ tồ t n
0
N s M
n
= M
n+1
ớ ọ
n > n
0
ó M
n+1
/M
n
= 0 ì tế N-dim
R
M
n+1
/M
n
= 1 < 0, ớ
ọ n > n
0
ì M = 0 N-dim
R
M 0 ó t ị ĩ
N-dim
R
M = 0 ợ sử N-dim
R
M = 0 ó ột
t t ỳ N
0
N
1
. . . . . . ủ M ị ĩ
tồ t số n
0
s N-dim
R
N
k+1
/N
k
= 1 < 0 ớ ọ
k > n
0
ó N
k+1
= N
k
ớ ọ n > n
0
tr ừ ĩ
M R tr
ệ ề ế
0 M

M M 0
ớ R tì
N-dim
R
M = max{N-dim
R
M

, N-dim
R
M}.
ứ t tí tổ qt t ó tể sử M

M
M

= M/M

. ế M = 0 tì M

= M = M = 0 s r
N-dim
R
M

= N-dim
R
M

= N-dim
R
M = 1.

ó t ó tể tết M = 0. ứ q t
N-dim
R
M = d.
sử d = 0. í ụ tr M R tr ì M

, M

ũ R tr s r N-dim
R
M

= N-dim
R
M

= 0.
sử d > 0 ệ ề ú ớ ọ ó ề tr tự
sự ỏ d. M
0

=
M
1

=
. . .
=
M
n

=
. . . ột í t t ỳ
ủ M. ó t ũ ó
M
0
M


=
M
1
M


=
. . .
=
M
n
M


=
. . . (1)
(M

+ M
0
)/M


=
(M

+ M
1
)/M


=
. . .
=
(M

+ M
n
)/M


=
. . . (2)
t ứ í t ủ M

M

= M/M

.
N-dim
R
M = d t ị ĩ tồ t n
0
N s
N-dim
R
M
n+1
/M
n
< d, ớ ọ n > n
0
ì ụ tết q
ớ
0
M

M
n+1
M

M
n

M
n+1
M
n

M

+ M
n+1
M

+ M
n
0,
t ó
N-dim
R
(M
n+1
/M
n
) = max{N-dim
R
M

M
n+1
M

M
n
, N-dim
R
M

+ M
n+1
M

+ M
n
}.
ì tế ớ ọ n > n
0
t ó
N-dim
R
M

M
n+1
M

M
n
= N-dim
R
(M
n+1
/M
n
) < d

N-dim
R
M

+ M
n+1
M

+ M
n
= N-dim
R
(M
n+1
/M
n
) < d.
ó t ị ĩ ề tr t ó N-dim
R
M

= d
N-dim
R
M

= d
N-dim
R
M = max{N-dim
R
M

, N-dim
R
M

}.

m ột ự ủ R r m

m
(A) ủ A ợ ị ĩ ở

m
(A) =

n0
(0 :
A
m
n
).
ột số tí t ủ rt ợ r ở r
tờ ợ ù tr ứ ề s
ệ ề ệ ề ổ ề
sử A ột R rt ó ỉ ó ữ
ự m ủ R s
m
(A) = 0 ế ự ệt ó
m
1
, . . . , m
r
tì
A =
m
1
(A) . . .
m
r
(A) Supp A = {m
1
, . . . , m
r
}.
ớ ỗ j {1, . . . , r} ế s R \ m
j
tì é ở s t
ột tự ủ
m
j
(A) ó
m
j
(A) ó trú tự ủ ột
R
m
j
ớ trú ột t ủ
m
j
(A) ột R
ế ỉ ế ó R
m
j
ệt
A
m
j

=

m
j
(A), ớ ọ j = 1, . . . , r.
í ệ ể t tệ từ ờ trở t t
A = A
1
. . . A
r
J
A
=

mSupp A
m,
tr ó A
j
=
n0
(0 :
A
m
n
j
) (1 j r) ú ý r (R, m) ị
tì J
A
= m.
ệ ề ổ ề ệ q A R rt
tr ị (R, m) ó A ó trú tự ủ

R tr ó

R ủ t t m ủ R ọ t
ủ A R ủ A ế ỉ ế ó

R ủ A
ó A ó trú tự ủ

R rt

ó trú ệt ờ t ó tể ể ệ ứ
rt tr ột t ỳ ề ệ ứ ú tr
ị í t s ề ề tr ủ rt
ột í ụ ét tr
ổ ề sử r A = A
1
. . . A
r
ột tí A t
tổ trự tế A
j
tr ý ệ ó
N-dim
R
A
j
= N-dim
R
m
j
(A
j
), ớ ọ j = 1, . . . , r.
(R, m) ị A R rt ó A ó
trú tự ủ

R rt t ó
N-dim
R
A = N-dim

R
A.
í ì t ó tể ết N-dim A t N-dim
R
A N-dim

R
A.
ề tr tứ rt
J
A
ủ ự tr ý ệ trớ ết
ết q s t t r ộ ủ rt A ữ ỉ
A ị tử ở ột ỹ từ ó ủ J
A

ổ ề J
n
A
A = 0 ớ n 0 ỉ
R
A < .
ứ sử J
n
A
A = 0 ớ n N ó t ó
0 = (m
1
m
2
. . . m
r
)
n
A (m
n1
1
m
n
2
. . . m
n
r
)A . . . (m
1
m
n
2
. . . m
n
r
)A . . .
(m
n
2
. . . m
n
r
)A (m
n1
2
. . . m
n
r
)A . . . (m
2
. . . m
n
r
)A . . .
m
n
r
A m
n1
r
A . . . m
r
A A
ó
R
A < . ợ ì
R
A <
A m
1
A m
2
1
A . . . m
n
1
A (m
n
1
m
2
)A (m
n
1
m
2
2
)A . . .
(m
n
1
m
n
2
)A . . . (m
n
1
m
n
2
. . . m
r
)A (m
n
1
m
n
2
. . . m
2
r
)A . . .
(m
n
1
m
n
2
. . . m
n
r
)A = (m
1
m
2
. . . m
r
)
n
A . . .

ừ tứ tồ t n
0
N s
(m
1
m
2
. . . m
r
)
n
A = (m
1
m
2
. . . m
r
)
n+1
A
ớ ọ n n
0
. ì m
1
m
2
. . . m
r
tí ủ ữ ự
ệt ủ R t ổ ề t ó (m
1
m
2
. . . m
r
)
n
A = 0 s r
J
n
A
A = 0
r t ết q ủ r ớ ỗ I ủ R
ế
R
(0 :
A
I) < tì
R
(0 :
A
I
n
) < ớ n ủ ớ ữ tồ
t ột tứ F (n, I, A) s
R
(0 :
A
I
n
) = F (n, I, A), ớ n 0.
tứ tr ợ ọ tứ rt ủ rt A ứ ớ
I ủ R ý ệ ủ F (n, I, A) deg(
R
(0 :
A
I
n
)) q ớ
deg(
R
(0 :
A
I
n
)) = 1 ế F (n, I, A) = 0 r trờ ợ (R, m)
tự ị rts ứ ết q s ề t tự
tr rt q ết ò ợ ọ ị ý
ủ ý tết ề
N-dim A = deg(
R
(0 :
A
m
n
))
= inf{t 0 : a
1
, . . . , a
t
m :
R
(0 :
A
(a
1
, . . . , a
t
)R) < }.
ớ t sẽ ứ ết q tr ủ rts ợ
r ờ ở rộ t
ỳ rớ ết t ứ ết q s
ệ ề ị ý ố ớ ọ rt A t ề ó
N-dim A = deg(
R
(0 :
A
J
n
A
)).
ứ ý ệ t ó A =
r

j=1
A
j
ớ A
j

=

m
j
(A) rớ
ết t ứ tứ
(0 :
A
J
n
A
) =
r

j=1
(0 :
A
j
m
j
n
).

ột tử tỳ ý a (0 :
A
J
n
A
) ì a A a =
r

a
j
j=1
, tr ó
a
j
A
j
J
n
A
a
j
= 0, ớ ọ j = 1, . . . , r. ó tể ọ m n s
m
m
j
a
j
= 0, ớ a
j
A
j
ì t ó
0 = (m
m
j
+ J
n
A
)a
j
m
n
j
(m
mn
j
+

i=j
m
n
i
)a
j
.
ì m
1
, . . . , m
r
ự ệt ủ R m
mn
j
+

i=j
m
n
i
= R
ó m
n
j
a
j
= 0 ì tế a
r

j=1
(0 :
A
j
m
j
n
) t ó
(0 :
A
J
n
A
)
r

i=1
(0 :
A
j
m
j
n
).
ợ ột tử tỳ ý x
r

j=1
(0 :
A
j
m
j
n
) ó x =
r

x
j
i=1
tr
ó x
j
(0 :
A
j
m
j
n
) x
j
m
n
j
= 0, s r x
j
J
n
A
= 0 ớ ọ j = 1, . . . , r
ề é t x (0 :
A
J
n
A
) t ó tứ ợ
ờ ụ ệ ề t ó tể A
j
tr
ị R
m
j
ớ ọ j = 1 . . . , r ừ tứ tr t ó
deg(
R
(0 :
A
J
n
A
)) = max{deg(
R
(0 :
A
j
m
j
n
))}. ì tế ụ ết q
tr ị ợ ứ ở rt ị ý t ó
deg(
R
(0 :
A
j
m
j
n
)) = N-dim A
j
. ữ t ệ ề t ó
N-dim A = max{N-dim(A
j
)} ết ợ tt ết q tr t ợ ề
ứ deg(
R
(0 :
A
J
n
A
)) = N-dim A
rớ r ết q í ủ t ột ết q ề
ệ t số ị ế ợ ớ tệ ở r r
tr ột tử x
1
, . . . , x
n
ủ R ợ ọ ệ t số ị
ế ủ A ế ớ ỗ j = 1, . . . , r tồ t ột số t
j
ớ 0 t
j
n
s x
1
/1, . . . , x
t
j
/1 tr R
m
j
ột ệ t số ủ
A
j
x
t
j
+1
, . . . , x
n
ị tr R
m
j

Xem chi tiết: Chiều noether của môđun artin