ứng dụng lí thuyết điểm bất động trong hình nón vào phương trình tích phân phi tuyến

LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "ứng dụng lí thuyết điểm bất động trong hình nón vào phương trình tích phân phi tuyến": http://123doc.vn/document/1050911-ung-dung-li-thuyet-diem-bat-dong-trong-hinh-non-vao-phuong-trinh-tich-phan-phi-tuyen.htm

MỤC LỤC

0TMỤC LỤC0T 5
0TMỞ ĐẦU0T 7
0T1.Lí do chọn đề tài0T 7
0T2.Mục đích của đề tài0T 7
0T3.Phương pháp nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu và phạm vi của đề tài.0T 7
0TMỘT SỐ KÍ HIỆU ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN0T 9
0TChương 1. NÓN VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA NÓN0T 10
0T1.1 Nón chuẩn (Normal cones)0T 10
0T1.2 Nón chính quy (Regular cones) và nón chính quy đủ (Fully Regular Cones).0T 11
0T1.3. Hàm tuyến tính dương0T 13
0TChương 2 : MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG NÓN0T 15
0T2.1 Điểm bất động của ánh xạ đơn điệu0T 15
0T2.2 Điểm bất động của ánh xạ mở rộng nón (cone expansion) và ánh xạ thu hẹp nón
( cone compression).
0T 23
0T2.3. Định lí điểm bất động bội (Multiple Fixed point theorems).0T 37
0TChương 3 : ỨNG DỤNG VÀO MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
PHI TUYẾN
0T 40
0T3.1. Phương trình tích phân của dạng đa thức0T 40
0T3.2 Giá trị riêng và vectơ riêng0T 54
0T3.3. Phương trình tích phân phi tuyến dạng lan truyền bệnh dịch0T 62
0T3.4. Một phương trình tích phân phi tuyến xuất hiện trong vật lí hạt nhân0T 72
0TKẾT LUẬN0T 76
0TTÀI LIỆU THAM KHẢO0T 77


MỞ ĐẦU
1.Lí do chọn đề tài
Phương trình tích phân phi tuyến đã được nhiều nhà toán học lớn trên
thế giới quan tâm và nghiên cứu, trong đó phải kể đến Dajun Guo,
V.Lakshmikantham, Shaefer, Stuart, William, Legget . . . Nhận thấy phạm
vi ứng dụng rộng lớn của các phương trình này trong ngành toán nói
chung và ngành giải tích nói riêng, đặc biệt là có ứng dụng vào trong các
ngành khoa học khác như : Phương trình tích phân phi tuyến dạng lan
truyền bệnh dịch mô tả sự lây lan bệnh dịch; Phương trình tích phân phi
tuyến xuất hiện trong vật lí hạt nhân; Phương trình tích phân phi tuyến mô
tả sự vận chuyển Notron, . . .
Từ những kiến thức thu nhận được qua các bài giảng trong khóa học
cao học và dựa trên các kết quả của các nhà toán học nêu trên, tôi muốn
mở rộng kiến thức của mình để tìm hiểu về chuyên đề phương trình tích
phân phi tuyến. Chính vì vậy mà tôi đã quyết định chọn đề tài này.
2.Mục đích của đề tài
Đề tài trình bày về sự tồn tại nghiệm liên tục, không âm của một số
loại phương trình tích phân phi tuyến dựa trên lí thuyết điểm bất động
nghiên cứu trên các hình nón.
3.Phương pháp nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu và phạm vi của đề tài.
a. Phương pháp nghiên cứu : Tham khảo sách, các bài báo liên quan và dựa
trên sự hướng dẫn của giảng viên.
b. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu của đề tài
Phương trình tích phân phi tuyến là một mảng khá rộng nhưng do còn hạn
chế về nhiều mặt và do phạm vi cho phép của đề tài nên luận văn chỉ trình bày
một số kết quả sau đây.
Chương 1 : Trình bày các định nghĩa và tính chất cơ bản của nón.
Chương 2 : Trình bày một số định lí điểm bất động trong hình nón, bao gồm:
 Định lí điểm bất động của ánh xạ tăng, ánh xạ giảm.
 Định lí điểm bất động của ánh xạ cô đọng.
 Định lí điểm bất động của ánh xạ mở rộng và thu hẹp nón.
Chương 3 : Là nội dung trọng tâm của luận văn, trình bày những ứng dụng trực
tiếp của các định lí đã trình bày ở chương 2 vào xét sự tồn tại nghiệm không âm,
liên tục của các phương trình tích phân phi tuyến sau :
(1)
( ) ( , ). ( , ( ))
G
u x k x y f y u y dy=
∫

(2)
. ( ) ( , ). [ ( )] ( )
G
ux kxy fuy dy Aux
λ
= =
∫

(3)
() (, ()
t
t
x t f s x s ds
τ
−
=
∫

(4)
1
22
0
(,)
1 () () () ,0 1
y
Rxy
x x y dy x
x
ψψ ψ
= + ≤≤
−
∫
.


MỘT SỐ KÍ HIỆU ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN
• E : không gian Banach thực.
• E
P
*
P : không gian các hàm tuyến tính liên tục từ E vào E ( đối ngẫu của E).
• P : nón trong E
• P
P
*
P = { f
∈
EP
*
P : f(x)
≥
0, x
∈
P}.
• P
R
u0
R = {x
∈
E :
∃λ
> 0 , x >
λ
uR
0
R}.
•
γ
(S) : độ đo của tập không compact S.
• Mes(G) : độ đo của tập G.
• co(A) : bao lồi của A, co(A) =
11
: 1, 0,
nn
ii i i i
ii
y yA
λ λλ
= =

=≥∈


∑∑
.
• i(A, U, X) : chỉ số điểm bất động của A trên U ứng với X.
• deg(A, U, p) : bậc topo, bậc Leray – Schauder của A trên U tại điểm p.
• C(G) : không gian các hàm liên tục trên G.
• L(G): không gian các hàm khả tích trên G.

Chương 1. NÓN VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA NÓN
1.1 Nón chuẩn (Normal cones)
Định nghĩa 1.1.1
Cho E là một kông gian Banach thực. Một tập lồi đóng P
⊂
E được gọi là
một nón nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau :
(i) x
∈
P,
λ

≥
0 thì
λ
x
∈
P
(ii) x
∈
P, -x
∈
P thì x = θ, trong đó θ là phần tử không trong E.
• Một nón P được gọi là thể nón ( solid cone) nếu nó có chứa điểm trong,
tức là
P
o
≠∅
.
• Một nón được gọi là nón sinh (generating) nếu E = P – P, tức là mọi phần
tử x
∈
E có thể biểu diễn được dạng x = u – v, trong đó u , v
∈
P.
• Mỗi nón P trong E xác định một thứ tự riêng phần trong E cho bởi
x
≤
y nếu và chỉ nếu y – x
∈
P. (1.1.1)
• Nếu x
≤
y và x
≠
y, ta viết x < y ; nếu P là thể nón(solid) và y – x
∈
P thì
ta viết x << y .
Định nghĩa 1.1.2
Một nón P
⊂
E được gọi là chuẩn nếu có một số dương δ sao cho
, , , 1, 1x y xy P x y
δ
+≥∀ ∈ = =
.
Định lí 1.1.1
Cho P là nón trong E. Các khẳng định sau là tương đương
(i) P là chuẩn
(ii) Có một hằng số γ > 0 sao cho
.max{ , }, ,x y x y xy P
γ
+≥ ∀ ∈
;
(iii) Có một hằng số N > 0 sao cho θ
≤
x
≤
y thì
x Ny≤
, tức là
⋅
là nửa
đơn điệu ;
(iv) Có một chuẩn tương đương
⋅
trên E sao cho θ ≤ x ≤ y thì
11
xy≤
,
tức là
⋅
là đơn điệu.
(v)
,( 1,2,3, )
nnn
x z yn≤≤ =
và
0, 0
nn
xx yx−→ −→
thì
0
n
zx−→
;
(vi) Tập ( B+P)
∩
(B – P) bị chặn, trong đó B = { x
∈
E :
1x ≤
} ;
(vii) Mọi đoạn [x , y] = { z
∈
E : x
≤
z
≤
y} là bị chặn.
Chứng minh. ( Xem: [1], page 3 – 5).
1.2 Nón chính quy (Regular cones) và nón chính quy đủ (Fully Regular
Cones).
Định nghĩa 1.2.1
Một nón P
⊂
E được gọi là chính quy nếu mọi dãy tăng và bị chặn trong E
đều có giới hạn, tức là, nếu {x
R
n
R}
⊂
E và y
∈
E thỏa:
x
R
1
R
≤
xR
2
R
≤
. . .
≤
xR
n
R
≤
. . . ≤ y , (1.2.1)
thì có x
P
*
P
∈
E sao cho
*
0
n
xx−→
.
Rõ ràng nón P là chính quy nếu và chỉ nếu mọi dãy giảm và bị chặn trong E có
giới hạn.

Định nghĩa 1.2.2
Một nón P
⊂
E được gọi là chính quy đầy đủ (fully regular) nếu mọi dãy tăng và
bị chặn theo chuẩn trong E có giới hạn, tức là nếu x
R
n
R
⊂
P thỏa
x
R
1
R
≤
xR
2
R
≤
. . .
≤
xR
n
R
≤
. . . ,
sup ,
n
n
Mx= < +∞
(1.2.2)
tồn tại x
P
*
P
∈
E sao cho
*
0
n
xx−→
.
Rõ ràng một nón P là chính quy đầy đủ nếu và chỉ nếu mọi dãy giảm và bị chặn
theo chuẩn trong E có giới hạn.
Định lí 1.2.1
Nón P là chính quy đầy đủ thì P là chính quy và P là chính quy thì P là nón
chuẩn.
Chứng minh. ( Xem: [1], page 7-8).
Định lí 1.2.2
Nếu E là phản xạ và P là nón trong E, khi đó các khẳng định sau là tương đương.
(i) P là nón chuẩn
(ii) P là chính quy
(iii) P là chính quy đầy đủ.
Chứng minh. ( Xem: [1], page 10 – 12).
Định lí 1.2.3. Cho P là nón trong E. P là nón chính quy nếu và chỉ nếu điều kiện
sau được thỏa :
(HR
1
R)
{ }
, inf 0xP x
ii
i
⊂>
thì
1
n
i
i
x
=



∑
không bị chặn theo điểm, tức không tồn
tại z ∈ E sao cho :
1
, 1,2,3,
n
i
i
x zn
=

≤=


∑

Tương tự, P là chính quy đầy đủ nếu và chỉ nếu điều kiện sau được thỏa :
(H
R
2
R) {xR
i
R}
⊂
P và
inf 0
i
i
x >
thì
1
n
i
i
x
=



∑
không bị chặn theo chuẩn, tức là :

1
sup
n
i
n
i
x
=
= +∞
∑

Chứng minh. ( Xem: [1], page 12 -13).
1.3. Hàm tuyến tính dương
Định nghĩa 1.3.1. Cho E là không gian Banach thực và P là nón trong E. Hàm
f
∈
EP
*
P được gọi là dương nếu f(x)
≥
0, với mọi x
∈
P.
Tập con gồm tất cả các hàm tuyến tính dương bị chặn được ký hiệu là PP
*
P , tức là
P
P
*
P = { f
∈
EP
*
P : f(x)
≥
0, x
∈
P }. (1.3.1)
Dễ thấy, PP
*
P thỏa tất cả các điều kiện của nón, ngoại trừ tính chất
P
P
*
P
∩
(-PP
*
P) = {
θ
}, (1.3.2)
Do đó, nếu P là chính quy thì (1.3.2) thỏa và PP
*
P là nón trong EP
*
P, PP
*
P được gọi là
nón đối ngẫu của nón P.

Định lí 1.3.1
Ta có các kết luận sau
(i) x
∈
P nếu và chỉ nếu f(x)
≥
0 với mọi f
∈
PP
*
P , với xR
1
R >
θ
thì tồn tại fR
1
R
∈
PP
*
P
sao cho f
R
1
R(xR
1
R) > 0, với xR
2
R
∈
P thì tồn tại fR
2
R
∈
PP
*
P sao cho fR
2
R(xR
2
R) < 0.
(ii) Cho P là thể nón. Khi đó, x
∈
P nếu và chỉ nếu f(x) > 0 với f
∈
PP
*
P\{
θ
}.
(iii) Nếu E là tách được, thì tồn tại f
R
0
R
∈
PP
*
P sao cho fR
0
R(x) > 0 với mỗi x >
θ
.
Chứng minh (Xem: [1], page 18 – 20).