⇒
3 4 35 3 4 35
(1)
5 5
1
3 4 35
(2)
1
5
x y x y
x
x y
+ − − −
=
−
− −
=
Từ (1) ⇒
35
3
0
x
y
=
=
Thay vào (2) ta được
35 40 32
, ,
3 3 3
25, 16
0
5, 4
x y R
x R
y
x R
= = ± =
= − =
= ⇒
= =
Vậy có bốn phương trình đường tròn thoả mãn đầu bài:
(x+25)
2
+ y
2
= 256
(x-5)
2
+ y
2
= 16
(x-35/3)
2
+ (y+40/3)
2
=(32/3)
2
(x-35/3)
2
+ (y-b=40/3)
2
= (32/3)
2
Ví dụ 10: Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng x = 5 và tiếp xúc với
hai đường thẳng: d
1
: 3x – y + 3 = 0, d
2
= x – 3y + 9 = 0.
Giải: Tâm I của đường tròn nằm trên đường thẳng x = 5 nên toạ độ của tâm I có dạng I
(5;b).Gọi R là bán kính đường tròn.
Khoảng cách từ I đến d
1
là: R =
15 3
10
b− +
.
Khoảng cách từ I đến d
2
là: R =
5 3 9
10
b− +
.
⇒
2 40
18 14 3
8
10
b R
b b
b
R
= − =
− = − ⇔ ⇒
=
=
Vậy có hai đường tròn thoả mãn yêu cầu đề bài là:
(x-5)
2
+ (y+2)
2
= 40
(x-5)
2
+ (y-8)
2
= 10
Dạng 3: Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác.
Cách1:
- Tính diện tích tam giác và các cạnh của tam giác để suy ra bán kính đường tròn
nội tiếp tam giác: r =
S
p
- Gọi I(x;y) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
⇒
Khoảng cách từ tâm I đến ba
cạnh bằng nhau và bằng r. Từ đó thành lập được hệ phương trình hai ẩn x và y.
- Giải hệ phương trình đó tìm được x, y từ đó có phương trình đường tròn phải tìm.
Cách 2:
5
- Viết phương trình đường phân giác trong của hai góc của tam giác.
- Tìm giao điểm hai đường phân giác đó ta được toạ độ tâm I.
- Tính khoảng cách từ tâm I đến một trong ba cạnh của tam giác ta được bán kính
đường tròn nội tiếp tam giác.
Ví dụ 11: Cho hai điểm A(8; 0) và B(0; 6).
a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác )AB.
b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB
(Đại học Mỹ thuật công nghiệp 1998)
Giải:
a) Nhận xét: Tam giác OAB vuông ở O nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung
điểm của cạnh huyền AB ⇒ I(4;3)
Bán kính R = IA = 5
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là:
(x-4)
2
+ (y-3)
2
= 25
b) Diện tích tam giác OAB là S = ½. 8.6 = 24
Cạnh huyền AB = 10
Nửa chu vi p = 12 ⇒ r =
S
p
=2
Vì đường tròn này tiếp xúc với hai trục toạ độ nên tâm J(r;r) = (2;2)
Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB là: (x-2)
2
+ (y-2)
2
= 4
Ví dụ 12: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC tạo bởi ba đường thẳng:
4x-3y-65 = 0; 7x-24y+55 = 0; 3x+ 4y – 5= 0
Giải: Gọi ABC là tam giác đã cho với các cạnh là:
AB: 4x-3y-65 = 0;
BC: 7x-24y+55 = 0
CA: 3x+ 4y – 5= 0
⇒ A(11;-7); B(23;9); C( -1;2) và dễ thấy tam giác ABC vuông ở A.
AB = 20; BC = 25; CA = 15
Diện tích tam giác là: S = 150
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là: r = 5.
Gọi tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là I(x;y) ⇒ khoảng cách từ tâm I đến
đường thẳng đã cho đều bằng r = 5 nên ta có:
4 3 65 7 24 5 3 4 5
5
5 25 5
x y x y x y− − − + + −
= = =
Giải hệ này ta tìm được I(10;0)
6
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là : (x-10)
2
+ y
2
= 25
VẤN ĐỀ 3: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN.
Dạng 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Tìm toạ độ giao điểm.
Cho đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0 (1) (A
2
+ B
2
≠ 0)
và đường tròn (C): x
2
+ y
2
-2ax -2by + c = 0 (2). (C) có tâm I(a;b) và bán kính R.
Để xét vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn ta có hai phương pháp:
Phương pháp 1: Xét số giao điểm của ∆ và (C). Số giao điểm của ∆ và (C) là số nghiệm của
hệ phương trình:
2 2
Ax 0
2ax 2 0
By C
x y by c
+ + =
+ − − + =
- Nếu hệ vô nghiệm thì ∆ và (C) không có giao điểm nào ⇒ ∆ không cắt đường tròn.
- Nếu hệ có duy nhất một nghiệm thì ∆ và (C) có một giao điểm ⇒ ∆ tiếp xúc với
đường tròn.
- Nếu hệ có hai nghiệm phân biệt thì ∆ và (C) có hai giao điểm ⇒ ∆ cắt đường tròn tại
hai điểm phân biệt
Nhận xét: ∆ và (C) có điểm chung ⇔ ∆ cắt hoặc tiếp xúc với (C)
Phương pháp 2: So sánh khoảng cách từ tâm I đến ∆ với bán kính R.
Bước 1: Tìm toạ độ I(a;b); R
Bước 2: Tính khoảng cách từ I đến ∆ ⇒ h =
2 2
Ax By C
A B
+ +
+
TH1: h> R ⇔ ∆ không cắt đường tròn ⇒ ∆ và (C) không có giao điểm nào.
TH2: h = R ⇔ ∆ tiếp xúc với đường tròn ⇒ ∆ và (C) có duy nhất một giao điểm.
TH3: h< R ⇔ ∆ cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt ⇒ ∆ và (C) có 2 giao điểm.
Nhận xét:
Nếu bài toán chỉ yêu cầu xét vị trí tương đối của (C) và d mà không cần quan tâm đến
toạ độ giao điểm thì ta làm theo phương pháp 2.
Ví dụ 13: Cho d: x – 5y – 2 = 0 và (C)có tâm I(-1;2) và bán kính R =
13
a) Viết phương trình đường tròn.
b) Tìm toạ độ giao điểm của (C) và d.
Giải:
Phương trình đường tròn là: (x+1)
2
+ (y-2)
2
= 13.
Để tìm toạ độ giao điểm của (C) và d ta sủ dụng cách 1.
Toạ độ giao điểm của (C) và d là nghiệm của hệ phương trình:
7
2 2
5 2 0
( 1) ( 2) 13
x y
x y
− − =
+ + − =
Giải hệ này ta tìm được hai giao điểm A(2;0) và B(-3;-1)
Ví dụ 14: Biện luận số giao điểm của (C) và d trong đó:
d: mx-y-3m-2=0
(C): x
2
+ y
2
-4x-2y = 0
Giải: Vì bài toán này không phải chỉ ra toạ độ giao điểm nên ta có thể sử dụng phương pháp
2 để giải.
Tâm và bán kính của đường tròn này là: I(2;1) và R =
5
Khoảng cách từ tâm I đến d là h =
2
3
1
m
m
+
+
TH1:
2
3
1
m
m
+
+
<
5
⇔ (m+3)
2
<5(m
2
+ 1) ⇔ 4m
2
– 6m-4> 0 ⇔
1
2
2
m
m
< −
>
⇒ h < R ⇒ d và (C) có 2 giao điểm.
TH2:
2
3
1
m
m
+
+
=
5
⇔ (m+3)
2
=5(m
2
+ 1) ⇔ 4m
2
– 6m-4= 0 ⇔
1
2
2
m
m
= −
=
⇒ h = R ⇒ d và (C) có 1 giao điểm hay d tiếp xúc với (C).
TH3:
2
3
1
m
m
+
+
>
5
⇔ (m+3)
2
>5(m
2
+ 1) ⇔ 4m
2
– 6m-4< 0 ⇔ -1/2 < m< 2
⇒ h > R ⇒ d và (C) không có giao điểm nào.
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.
Ví dụ 15: Cho (C): x
2
+ y
2
-4x + 6y – 12 = 0 và điểm D(1;1).
1) Viết phương trình đường thẳng ∆
1
đi qua D và cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
AB đạt giá trị lớn nhất.
1) Viết phương trình đường thẳng ∆
2
đi qua D và cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
AB đạt giá trị nhỏ nhất.
1) Viết phương trình đường thẳng ∆
3
đi qua D và cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
DA=2DB
Giải:
Đường tròn này có tâm I(2;-3) và bán kính R = 5.
8
Ta có ID =
17
< 5 ⇒ D nằm trong đường tròn ⇒ mọi đường thẳng đi qua D đều
cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.
a) ∆
1
đi qua D cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB
max
⇔ AB là đường kính
của đường tròn này ⇒ ∆
1
đi qua D và I ⇒ phương trình có dạng: 4x+y-5 = 0.
b) ∆
2
đi qua D cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB
min
⇔ d(I;AB)
max
= ID
⇔ AB ⊥ ID tại D ⇒ ∆
1
đi qua D và nhận ID làm vectơ pháp tuyến ⇒ phương trình có dạng:
x-4y+3 = 0.
c) Ta có: Phương tích của điểm D đối với đường tròn (C) là: P =
.DA DB
uuur uuur
=-2DA
2
mà P = ID
2
– R
2
= 17 – 25 = -8 ⇒ DA
2
= 4
⇒ (x
A
– 1)
2
+ (y
A
– 1)
2
=4 (1)
mà A ∈ (C) ⇒ x
A
2
+ y
A
2
-4x
A
+ 6y
A
– 12 = 0 (2)
Từ (1) và (2) ⇒ A(-1;1) hoặc A(115/17;33/17)
Vậy có hai đường thẳng thoả mãn là: y = 1 và 98x-15y-83=0
Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn.
Cho đường tròn (C): (x-a)
2
+ (y-b)
2
= R
2
. (C) có tâm I(a;b) và bán kính R
Bài toán 1:Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) tại điểm M(x
0
;y
0
)
∈
(C).
Giải: Gọi ∆ là tiếp tuyến với đường tròn (C). Vì ∆ tiếp xúc với (C) tại M ⇒ ∆ đi qua
M và nhận
IM
uuur
(x
0
– a; y
0
– b) làm vecctơ pháp tuyến ⇒ phương trình có dạng:
(x
0
– a)(x- x
0
) + (y
0
– a)(y- y
0
) = 0 (1)
Chú ý:
+ Phương trình (*) có thể biến đổi về dạng sau: (x
0
– a)(x- a) + (y
0
– a)(y- b) = R
2
(1a)
+ Nếu phương trình đường tròn cho ở dạng : x
2
+ y
2
-2ax -2by + c = 0 thì tiếp tuyến của
đường tròn tại điểm M(x
0
,y
0
) có dạng: xx
0
+ yy
0
– (x+x
0
)a- (y+y
0
)b + c = 0 (1b) (Phương trình
này được suy trực tiếp từ (1a)).
Cách thành lập phương trình tiếp tuyến ở dạng(1a) và (1b)gọi là "phương pháp phân
đôi toạ độ".
Bài toán 2: Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn kẻ từ một điểm M(x
0
;
y
0
) không thuộc
đường tròn.
Bài toán này có hai cách giải như sau:
Cách 1:
+/ Xét đường thẳng ∆ đi qua M và vuông góc với Ox. Khi đó ∆ có phương trình là x =
x
0
.
∆ là tiếp tuyến của đường tròn ⇔ d(I;∆ ) = R. Từ đẳng thức này sẽ suy ra được ∆ có
phải là tiếp tuyến của đường tròn hay không.
9
+/ Xét đường thẳng ∆ đi qua M và có hệ số góc là k. Phương trình của ∆ có dạng: y =
k(x-x
0
) + y
0
.
∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d(I;∆ ) = R. Giải điều kiện này ta sẽ tìm được k.
Chú ý: Để chứng minh một điểm M nằm ngoài đường tròn ta làm như sau:
- Tính IM.
- So sánh IM với R: + Nếu IM > R thì M nằm ngoài đường tròn
+ Nếu IM < R thì M nằm trong đường tròn.
+ Nếu IM = R thì M nằm trên đường tròn.
Cách 2:
- Đường thẳng ∆ đi qua M có phương trình: a(x-x
0
) + b(y-y
0
) = 0 trong đó a
2
+ b
2
≠ 0.
- ∆ là tiếp tuyến với đường tròn (C) ⇔ d(I;∆ ) = R (*)
- Từ điều kiện (*), tìm mối liên hệ giữa a và b. Vì a và b không đồng thời bằng 0 nên
có thể chọn a một giá trị thích hợp rồi suy ra b hoặc ngược lại.
Bài toán 3: Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn biết tiếp tuyến có hệ số góc là k.
Giải:
- Phương trình đường thẳng ∆ có hệ số góc k có dạng: y = kx + m.
- ∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d(I;∆ ) = R. Giải điều kiện này ta sẽ tìm được m.
Chú ý:
- Nếu tiếp tuyến ∆ song song với đường thẳng: ax+ by+ c = 0 thì phương trình ∆ sẽ có
dạng: ax+by + c' = 0 (c' ≠ c).
- Nếu tiếp tuyến ∆ vuông góc với đường thẳng ax+ by+ c = 0 thì phương trình ∆ sẽ có
dạng: -bx+ay + c' = 0 (c' ≠ c).
Ví dụ 16: Cho đường tròn (C) có phương trình x
2
+ y
2
-6x +2y + 6 = 0 và điểm A (1;3)
a) Chứng minh rằng điểm A ở ngoài đường tròn.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ A.
Giải:
Đường tròn (C) có tâm I(3; -1) bán kính R = 2.
a) Ta có: IA = 2
5
> R ⇒ A nằm ngoài đường tròn (C).
b) Ta giải bài toán này theo hai cách.
Cách 1: Phương trình đường thẳng đi qua A có vectơ pháp tuyến là (a; b) có dạng:
a(x – 2) + b( y – 6) = 0 (a
2
+ b
2
≠ 0)
Đường thẳng này là tiếp tuyến của đường tròn ⇔ d(I,d) = R
⇔
2 2
(3 1) ( 1 3)a b
a b
− + − −
+
=2 ⇔ (a - 2b)
2
= (a
2
+ b
2
) ⇔ 3b
2
-4ab = 0 ⇔
0
4
3
b
b a
=
=
.
10
*) Nếu b = 0, vì a ≠ 0 chọn a = 1 ⇒ phương trình tiếp tuyến có dạng: x = 1.
*) Nếu b=
4
3
a. Chọn a = 3, b = 4
phương trình tiếp tuyến có dạng: 3x -4y-15=0
Vậy qua A kẻ được hai tiếp tuyến với (C) là: x = 1
3x – 4y – 15 = 0.
Cách 2:
*) Xét ∆ đi qua A và vuông góc với Ox ⇒ phương trình ∆ : x = 1 hay x – 1 = 0.
∆ là tiếp tuyến của (C) ⇔ d(I;∆ ) = R ⇔
3 1
1
−
=2. Đẳng thức này đúng nên x = 1 là
tiếp tuyến của (C).
*) Xét ∆ đi qua A và có hệ số góc là k. Phương trình của ∆ là: y = k(x – 1) + 3 hay kx – y + 3
– k = 0.
∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d(I;∆ ) = R ⇔
2
3 1 3
1
k k
k
+ + −
+
=2
(k+2)
2
= k
2
+ 1 ⇔ k =-
3
4
⇒ ta được tiếp tuyến: y = -
3
4
(x–1) + 3 ⇔ 3x + 4y – 15 = 0
Nhận xét: Trong cách giải 2: ta phải xét hai trường hợp nhưng lời giải của mỗi trường hợp lại
khá ngắn gọn và đơn giản. Phù hợp với đối tượng học sinh mà kỹ năng tính toán còn hạn chế.
Một sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi giải theo cách này đó là không xét trường hợp
thứ nhất tức là tiếp tuyến vuông góc với Ox (đường thẳng không có hệ số góc) và do đó bài
toán sẽ mất nghiệm.
Ví dụ 17: Cho đường tròn có phương trình là: x
2
+ y
2
+4x +4y -17 = 0.
Viết phương trình tiếp tuyến d của đường tròn trong các trường hợp sau:
a) Điểm tiếp xúc là M(2;1)
b) d đi qua A(3;6)
c) d song song với đường thẳng 3x-4y -2008 = 0
Giải:
Đường tròn này có tâm I(-2;-2), bán kính R = 5
a) Đây là bài toán tiếp tuyến thứ nhất.
Theo phương pháp phân đôi toạ độ ⇒ Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại
M(2;1) là:
2x +1.y +2(x + 2) + 2(y+1) -17 = 0
⇔ 4x + 3y-11 = 0.
b) Đây là bài toán tiếp tuyến thứ hai.
11
Phương trình đường thẳng đi qua A có vectơ pháp tuyến là (a; b) có dạng:
a(x – 2) + b( y – 6) = 0
Đường thẳng này là tiếp tuyến của đường tròn ⇔ d(I,d) = R
⇔
2 2
( 2 3) ( 2 6)a b
a b
− − + − −
+
=5 ⇔ (5a + 8b)
2
= 25(a
2
+ b
2
) ⇔ 39 b
2
+80ab = 0.
*) Nếu b = 0, vì a ≠ 0 chọn a = 1 ⇒ phương trình tiếp tuyến có dạng: x = 2.
*) Nếu b ≠ 0: ⇒ a = -39/80.b. Chọn a = -39, b = 80
phương trình tiếp tuyến có dạng: -39x + 80y-402=0.
Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn đầu bài.
c) Đây là bài toán tiếp tuyến thứ ba.
Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng 3x- 4y – 2008 = 0 có dạng: 3x –
4y + c = 0.
Đường thẳng này là tiếp tuyến với đường tròn ⇔ d(I;d
3
) = R ⇔
2 2
3.( 2) 4( 2)
3 4
c− − − +
+
=5 ⇔
2 c+
=25 ⇒ c = 23 hoặc c = -27.
Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn là: 3x – 4y + 23 = 0 hoặc 3x – 4y – 27 = 0.
Ví dụ 18: Cho đường tròn x
2
+ y
2
-2x -6y + 6 = 0 và điểm M(2;4).
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A, B sao cho M
là trung điểm của đoạn thẳng AB.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn có hệ số góc k = -1.
Đại học Tài chính kế toán- 1997
Giải:
Đường tròn này có tâm I(1;3) và bán kính R = 2.
a) Ta có: IM =
2
< 2 = R ⇒ M nằm trong đường tròn. Vậy mọi đường thẳng đi qua M đều
cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.
Đường thẳng ∆ đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm
của AB ⇒ IM ⊥ AB ⇒ ∆ nhận
IM
uuur
(1;1) làm vectơ pháp tuyến ⇒ phương trình của ∆:
x-2+y-4 = 0 ⇔ x + y – 6 = 0.
b) Phương trình của ∆ có hệ số góc là k=-1: y = -x+m hay x + y – m = 0
∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d(I;∆ ) = R ⇔
1 3
1 1
m+ −
+
=2
12
(4-m)
2
= 8 ⇔
4 2 2
4 2 2
m
m
= −
= +
Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn đầu bài là: x + y -4+2
2
= 0
x + y -4-2
2
= 0
Ví dụ 19: Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
+2x -4y -4 = 0 và điểm A(2; 5).
Lập phương trình tiếp tuyến kẻ từ A tới đường tròn. Giả sử tiếp tuyến này tiếp xúc với
đường tròn tại hai điểm M, N. Hãy tính độ dài MN.
Đại học Ngoại thương- 1997
Giải:
Qua A ta kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn là: x = 2 và y = 5.
Toạ độ của điểm M là nghiệm của hệ phương trình:
2 2
2
2 6 6 0
x
x y x y
=
+ − − + =
⇔
2
2
x
y
=
=
⇒ M(2; 2)
Toạ độ của điểm N là nghiệm của hệ phương trình:
2 2
5
2 6 6 0
y
x y x y
=
+ − − + =
⇔
1
5
x
y
= −
=
⇒ N(-1; 5)
⇒ MN =
( )
2
2
1 2 (5 2) 3 2− − + − =
Ví dụ 20: Cho (C): x
2
+ y
2
-2x +2y -3 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp
tuyến cắt tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho ∆ ABC có diện tích bằng 4.
Giải: (C)có tâm I(1;-1) và bán kính R =
5
Giả sử A(a;0), B(0; b) trong đó a > 0 và b> 0.
Phương trình đường thẳng AB có dạng:
1
x y
a b
+ =
⇔ bx + ay – ab = 0
S
AOB
= 4 ⇒
1
2
ab
=4 ⇒ ab = 8.
AB tiếp xúc với (C) ⇒ d(I,AB) = R ⇔
2 2
b a ab
a b
− −
+
=
5
⇒ b – a = -2 ⇒
4
2
a
b
=
=
Vậy phương trình AB: x + 2y – 4 = 0
Dạng 4: Một số bài toán khác về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.
Ví dụ 21: Cho đường thẳng d: x – y + 1 = 0 và đường tròn (C): x
2
+ y
2
+ 2x – 4y = 0. Tìm
điểm M ∈ d sao cho qua M vẽ được hai đường thẳng tiếp xúc với (C) tại A và B sao cho
góc AMB = 60
0
13
Giải:
(C): (x+1)
2
+ (y-2)
2
= 5.
⇒ Đường tròn có tâm I(-1;2) và có bán kính
5
.
Từ góc AMB bằng 60
0
⇒ AMI = 30
0
⇒ MI = 2AI = 2R = 2
5
.
Gọi toạ độ của M(x;y).
Ta có hệ phương trình
2 2
1 0
( 1) ( 2) 20
x y
x y
− + =
+ + − =
Giải hệ này ta được: x = -3, y = -2
x = 3, y = 4.
Vậy có hai điểm M thoả mãn M
1
(-3;-2) và M
2
(3;4)
VẤN ĐỀ 4: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN.
Dạng 1: Xét vị trí tương đối của hai đường tròn.
Cho hai đường tròn: (C1): x
2
+ y
2
-2a
1
x -2b
1
y + c
1
= 0
(C2): x
2
+ y
2
-2a
2
x -2b
2
y + c
2
= 0
Để xét vị trí tương đối của (C) và (C) ta có hai phương pháp như sau:
Phương pháp 1: Xét số giao điểm của (C1) và (C2). Số giao điểm của (C1) và (C2) là số
nghiệm của hệ phương trình:
2 2
1 1 1
2 2
2 2 2
2a x 2 0
2a x 2 0
x y b y c
x y b y c
+ − − + =
+ − − + =
- Nếu hệ vô nghiệm thì (C1) và (C2) không có giao điểm nào ⇒(C1) không cắt (C2).
- Nếu hệ có duy nhất một nghiệm thì (C1) và (C2) có một giao điểm ⇒(C1) tiếp xúc
với (C2)
. - Nếu hệ có hai nghiệm phân biệt thì (C1) và (C2) có hai giao điểm .
- Nếu hệ có vô số nghiệm thì (C1) trùng (C2)
Phương pháp 2:
- (C1) có tâm I
1
(a
1
; b
1
) và bán kính R
1
- (C2) có tâm I
2
(a
2
; b
2
) và bán kính R
2
- Tính I
1
I
2
= d
- Biện luận vị trí tương đối:
+ Nếu
1 2 1 2
R R d R R− < < +
thì (C1) và (C2) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
+ Nếu
1 2
d R R= +
thì (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau.
+ Nếu
1 2
d R R= −
thì (C1) và (C2) tiếp xúc trong nhau.
14
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét