Trờng THPT Ngọc Hồi Kon Tum .
SKKN : Một số sai lầm thờng gặp của học sinh khi tính tích phân
phần I: mở đầu
I/đặt vấn đề.
Trong đề thi tốt nghiệp THPT , Đại học , Cao đẳng, THCN của các năm bài
toán tích phân hầu nh không thể thiếu nhng đối với học sinh THPT bài toán tích
phân là một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định
nghĩa, các tính chất , các phơng pháp tính của tích phân. Trong thực tế đa số học
sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là: tìm một nguyên hàm của hàm
số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc phơng pháp đổi biến
số, phơng pháp tính tích phân từng phần mà rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm
của hàm số tìm đợc có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân
hay không? phép đặt biến mới trong phơng pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép
biến đổi hàm số có tơng đơng không? vì thế trong quá trình tính tích phân học sinh
thờng mắc phải những sai lầm dẫn đến lời giải sai qua thực tế giảng dạy nhiều năm
tôi nhận thấy rất rõ yếu điểm này của học sinh vì vậy tôi mạnh dạn đề xuất sáng
kiến : Một số sai lầm thờng gặp của học sinh khi tính tích phân
Nhằm giúp học sinh khắc phục đợc những yếu điểm nêu trên từ đó đạt đợc
kết quả cao khi giải bài toán tích phân nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình
học tập nói chung.
II/Lí do chọn đề tài :
Một số sai lầm thờng gặp của học sinh khi tính tích phân
trong toán Đại Số Giải Tích 12 . Nó cho phép chúng ta tiếp cận nhanh những bài
toán phức tạp, cụ thể tính giá trị của từng dạng tích phân và có thể nhìn thấy
những sai lệch , mà ta sử dụng không đúng phơng pháp vv . Chính vì vậy tôi
chọn đề tài : Một số sai lầm thờng gặp của học sinh khi tính tích phân
Nó thật sự có ích trong khi tôi dạy cho các em 12 để bớc vào một bậc học cao
hơn .Với hệ thống bài tập ít nh thế này,nhng tôi tin tởng rằng nó là phần không thể
GV : Đặng Ngọc Liên
1
Trờng THPT Ngọc Hồi Kon Tum .
SKKN : Một số sai lầm thờng gặp của học sinh khi tính tích phân
thiếu cho các em học sinh và các bạn đồng nghiệp tham khảo .Mong bạn đọc, các
đồng nghiệp có nhiều đóng góp quý báu . Xin cảm ơn !.
III/lịch sử vấn đề :
Nguyên hàm và tích phân với các phơng pháp tơng ứng đã có từ lâu , nhng :
Một số sai lầm thờng gặp của học sinh khi tính tích phân hầu nh ít để ý đến.
Với quan sát nh vậy , tôi mạnh dạn đa ra đề tài nh thế này trong khoảng thời gian
suy nghĩ từ 2 đến 3 năm . Tuy là mới , nhng tôi không ngừng tham khảo ý kiến của
các em và đồng nghiệp để hoàn chỉnh nó .
IV/giới hạn của đề tài :
Về kiến thức : Nguyên hàm và tích phân chỉ giới hạn một phần kiến thức trong học
kỳ II của sách đại số giải tích 12 .
Về thời gian : không nhiều trong nghiên cứu và nhìn nhận việc dạy , theo dõi việc
học của các em . Nhng với tinh thần giáo dục , nên mọi khó khăn chúng tôi cũng
đều vợc qua .
V/ phơng pháp :
+ Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinh
vận dụng hoạt động năng lực t duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để
từ đó đa ra lời giải đúng của bài toán.
+Thực nghiệm s phạm .
GV : Đặng Ngọc Liên
2
Trờng THPT Ngọc Hồi Kon Tum .
SKKN : Một số sai lầm thờng gặp của học sinh khi tính tích phân
Phần II: nội dung
I/ cơ sở khoa học :
Dựa trên nguyên tắc quá trình nhận thức của con ngời đi từ: cái sai đến cái
gần đúng rồi mới đến khái niệm đúng, các nguyên tắc dạy học và đặc điểm quá
trình nhận thức của học sinh
II/ nội dung cụ thể.
Một số sai lầm của học sinh khi tính tích phân
Bài tập minh hoạ:
Bài 1: Tính tích phân: I =
+
2
2
2
)1(x
dx
* Sai lầm thờng gặp: I =
+
2
2
2
)1(x
dx
=
+
+
2
2
2
)1(
)1(
x
xd
=-
1
1
+
x
2
2
=-
3
1
-1 = -
3
4
* Nguyên nhân sai lầm :
Hàm số y =
2
)1(
1
+
x
không xác định tại x= -1
[ ]
2;2
suy ra hàm số không liên
tục trên
[ ]
2;2
nên không sử dụng đợc công thức Newtơn leibnitz nh cách giải
trên.
* Lời giải đúng
Hàm số y =
2
)1(
1
+
x
không xác định tại x= -1
[ ]
2;2
suy ra hàm số không liên
tục trên
[ ]
2;2
do đó tích phân trên không tồn tại.
* Chú ý đối với học sinh:
Khi tính
dxxf
b
a
)(
cần chú ý xem hàm số y=f(x) có liên tục trên
[ ]
ba;
không?
nếu có thì áp dụng phơng pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu không thì
kết luận ngay tích phân này không tồn tại.
* Một số bài tập t ơng tự :
GV : Đặng Ngọc Liên
3
Trờng THPT Ngọc Hồi Kon Tum .
SKKN : Một số sai lầm thờng gặp của học sinh khi tính tích phân
Tính các tích phân sau:
1/
5
0
4
)4(x
dx
.
2/
dxxx
2
1
3
2
2
)1(
.
3/
dx
x
2
0
4
cos
1
4/
dx
x
xex
x
+
1
1
3
23
.
Bài 2 :Tính tích phân: I =
+
0
sin1 x
dx
* Sai lầm thờng gặp: Đặt t = tg
2
x
thì dx =
2
1
2
t
dt
+
;
xsin1
1
+
=
2
2
)1(
1
t
t
+
+
+
x
dx
sin1
=
+
2
)1(
2
t
dt
=
+
2
)1(2 t
d(t+1) =
1
2
+
t
+ c
I =
+
0
sin1 x
dx
=
1
2
2
+
x
tg
0
=
1
2
2
+
tg
-
10
2
+
tg
do tg
2
không xác định nên tích phân trên không tồn tại
*Nguyên nhân sai lầm:
Đặt t = tg
2
x
x
[ ]
;0
tại x =
thì tg
2
x
không có nghĩa.
* Lời giải đúng:
I =
+
0
sin1 x
dx
=
=
=
+
0
0
2
0
42
42
cos
42
2
cos1
x
tg
x
x
d
x
dx
= tg
2
44
=
tg
.
* Chú ý đối với học sinh:
Đối với phơng pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một hàm số liên tục
và có đạo hàm liên tục trên
[ ]
ba;
.
GV : Đặng Ngọc Liên
4
Trờng THPT Ngọc Hồi Kon Tum .
SKKN : Một số sai lầm thờng gặp của học sinh khi tính tích phân
*Một số bài tập t ơng tự:
Tính các tích phân sau:
1/
0
sin x
dx
2/
+
0
cos1 x
dx
Bài 3: Tính I =
+
4
0
2
96xx
dx
* Sai lầm thờng gặp:
I =
+
4
0
2
96xx
dx =
( ) ( ) ( )
( )
4
2
9
2
1
2
3
333
4
0
4
0
2
4
0
2
==
==
x
xdxdxx
* Nguyên nhân sai lầm:
Phép biến đổi
( )
33
2
=
xx
với x
[ ]
4;0
là không tơng đơng.
* Lời giải đúng:
I =
+
4
0
2
96xx
dx
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+==
3
0
4
3
4
0
4
0
2
3333333 xdxxdxxdxdxx
= -
( ) ( )
5
2
1
2
9
2
3
2
3
4
3
2
3
0
2
=+=
+
xx
* Chú ý đối với học sinh:
( )( ) ( )
xfxf
n
n
=
2
2
( )
Nnn
,1
I =
( )( )
=
b
a
n
n
xf
2
2
( )
dxxf
b
a
ta phải xét dấu hàm số f(x) trên
[ ]
ba;
rồi dùng tính
chất tích phân tách I thành tổng các phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Một số bài tập t ơng tự:
1/ I =
0
2sin1 x
dx ;
2/ I =
+
3
0
23
2 xxx
dx
GV : Đặng Ngọc Liên
5
Trờng THPT Ngọc Hồi Kon Tum .
SKKN : Một số sai lầm thờng gặp của học sinh khi tính tích phân
3/ I =
+
2
2
1
2
2
2
1
x
x
dx
4/ I =
+
3
6
22
2cot
xgxtg
dx
Bài 4: Tính I =
++
0
1
2
22xx
dx
* Sai lầm thờng gặp:
I =
( )
( )
( )
4
011
11
1
0
1
0
1
2
==+=
++
+
arctgarctgxarctg
x
xd
* Nguyên nhân sai lầm :
Học sinh không học khái niệm arctgx trong sách giáo khoa hiện thời
* Lời giải đúng:
Đặt x+1 = tgt
( )
dtttgdx
2
1
+=
với x=-1 thì t = 0
với x = 0 thì t =
4
Khi đó I =
( )
===
+
+
4
0
4
0
4
0
2
4
1
1
tdt
ttg
dtttg
* Chú ý đối với học sinh:
Các khái niệm arcsinx , arctgx không trình bày trong sách giáo khoa hiện thời;
Học sinh có thể đọc thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một sách
tham khảo, vì các sách này viết theo sách giáo khoa cũ (trớc năm 2000). Từ năm
2000 đến nay do các khái niệm này không có trong sách giáo khoa nên học sinh
không đợc áp dụng phơng pháp này nữa. Vì vậy khi gặp tích phân dạng
+
b
a
dx
x
2
1
1
ta dùng phơng pháp đổi biến số đặt t = tgx hoặc t = cotgx ;
b
a
dx
x
2
1
1
thì đặt x = sint hoặc x = cost
GV : Đặng Ngọc Liên
6
Trờng THPT Ngọc Hồi Kon Tum .
SKKN : Một số sai lầm thờng gặp của học sinh khi tính tích phân
*Một số bài tập t ơng tự :
1/ I =
8
4
2
16
dx
x
x
2/ I =
dx
x
xx
+
++
1
0
2
3
1
322
3/ I =
3
1
0
8
3
1 x
dxx
Bài 5:
Tính :I =
4
1
0
2
3
1
dx
x
x
*Suy luận sai lầm: Đặt x= sint , dx = costdt
=
dt
t
t
dx
x
x
cos
sin
1
3
2
3
Đổi cận: với x = 0 thì t = 0
với x=
4
1
thì t = ?
* Nguyên nhân sai lầm:
Khi gặp tích phân của hàm số có chứa
2
1 x
thì thờng đặt x = sint nhng đối với
tích phân này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận cụ thể với x =
4
1
không tìm đợc chính
xác t = ?
* Lời giải đúng:
Đặt t =
2
1 x
dt =
xdxtdtdx
x
x
=
2
1
Đổi cận: với x = 0 thì t = 1; với x =
4
1
thì t =
4
15
GV : Đặng Ngọc Liên
7
Trờng THPT Ngọc Hồi Kon Tum .
SKKN : Một số sai lầm thờng gặp của học sinh khi tính tích phân
I =
4
1
0
2
3
1
dx
x
x
=
( )
( )
=
=
==
4
15
1
4
15
1
4
15
1
3
2
2
3
2
192
1533
3
2
192
1515
4
15
3
1
1 t
tdtt
t
tdtt
* Chú ý đối với học sinh: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa
2
1 x
thì thờng
đặt x = sint hoặc gặp tích phân của hàm số có chứa 1+x
2
thì đặt x = tgt nhng cần
chú ý đến cận của tích phân đó nếu cận là giá trị lợng giác của góc đặc biệt thì mới
làm đợc theo phơng pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đếnphơng pháp khác.
*Một số bài tập t ơng tự:
1/ tính I =
dx
x
x
+
7
0
2
3
1
2/tính I =
+
2
1
2
1xx
dx
Bài 6: tính I =
+
1
1
4
2
1
1
dx
x
x
* Sai lầm thờng mắc: I =
+
=
+
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
dx
x
x
x
x
x
x
Đặt t = x+
dx
x
dt
x
=
2
1
1
1
Đổi cận với x = -1 thì t = -2 ; với x=1 thì t=2;
I =
2
2
2
2t
dt
=
dt
tt
)
2
1
2
1
(
2
2
+
=(ln
2
+
t
-ln
2
t
)
2
2
2
2
2
2
ln
+
=
t
t
= ln
22
22
ln2
22
22
ln
22
22
+
=
+
+
GV : Đặng Ngọc Liên
8
Trờng THPT Ngọc Hồi Kon Tum .
SKKN : Một số sai lầm thờng gặp của học sinh khi tính tích phân
* Nguyên nhân sai lầm:
2
2
2
4
2
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
+
=
+
là sai vì trong
[ ]
1;1
chứa x = 0 nên
không thể chia cả tử cả mẫu cho x = 0 đợc
* Lời giải đúng:
xét hàm số F(x) =
12
12
ln
22
1
2
2
++
+
xx
xx
F
(x) =
1
1
)
12
12
(ln
22
1
4
2
2
2
+
=
++
+
x
x
xx
xx
Do đó I =
+
1
1
4
2
1
1
dx
x
x
=
12
12
ln
22
1
2
2
++
+
xx
xx
ln
2
1
1
1
=
22
22
+
*Chú ý đối với học sinh: Khi tính tích phân cần chia cả tử cả mẫu của hàm số cho
x cần để ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = 0 .
III/Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
1/Kết quả từ thực tiễn:
GV : Đặng Ngọc Liên
9
Trờng THPT Ngọc Hồi Kon Tum .
SKKN : Một số sai lầm thờng gặp của học sinh khi tính tích phân
Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc giải những dạng tích
phân nh đã nêu.Tuy nhiên giáo viên cần hớng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích
một bài toán tích phân từ hàm số dới dấu tích phân,cận của tích phân để lựa chọn
phơng pháp phù hợp trên cơ sở giáo viên đa ra những sai lầm mà học sinh thờng
mắc phải trong quá trình suy luận,trong các bớc tính tích phân này rồi từ đó hớng
các em đi đến lời giải đúng.
Sau khi hớng dẫn học sinh nh trên và yêu cầu học sinh giải một số bài tập
tích phân trong sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 và một số bài trong các đề thi
tuyển sinh vào đại học,cao đẳng và trung học chuyên nghiệp của các năm trớc thì
các em đã thận trọng trong khi tìm và trình bày lời giải và đã giải đợc một lợng lớn
bài tập đó.
2/Kết quả thực nghiệm:
Sáng kiến đợc áp dụng trong năm học 2007-2008.
Bài kiểm tra trên hai đối tợng lớp 12A1(28 học sinh) không áp dụng sáng kiến và
12C4(37 học sinh) áp dụng sáng kiến nh sau:
xếp loại
đối tợng
giỏi khá tb yếu
12C1 50% 40% 10% 0%
12C4 0% 0% 40% 60%
Sau khi thực hiện sáng kiến học sinh học tập rất tích cực và hứng thú đặc
biệt là khi giải bài toán tích phân các em tính tích phân rất thận trọng và hiểu bản
chất của vấn đề chứ không tính rập khuôn một cách máy móc nh trớc, đó là việc
thể hiện việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh.
phần III:kết luận kiến nghị
I/ kết luận:
GV : Đặng Ngọc Liên
10
Trờng THPT Ngọc Hồi Kon Tum .
SKKN : Một số sai lầm thờng gặp của học sinh khi tính tích phân
Nghiên cứu, phân tích một số sai lầm của học sinh khi tính tích phân có ý
nghĩa rất lớn trong quá trình dạy học vì khi áp dụng sáng kiến này sẽ giúp học sinh
nhìn thấy đợc những điểm yếu và những hiểu biết cha thật thấu đáo của mình về
vấn đề này từ đó phát huy ở học sinh t duy độc lập, năng lực suy nghĩ tích cực chủ
động củng cố trau rồi thêm kiến thức về tính tích phân từ đó làm chủ đợc kiến
thức, đạt đợc kết quả cao trong quá trình học tập và các kỳ thi tuyển sinh vào các
trờng đại học, cao đẳng , THCN
II/ Kiến nghị:
Hiện nay nhà trờng đã có một số sách tham khảo tuy nhiên cha có một sách
tham khảo nào viết về sai lầm của học sinh khi giải toán. Vì vậy nhà trờng cần
quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách tham khảo loại này để học sinh đợc
tìm tòi về những sai lầm thờng mắc khi giải toán để các em có thể tránh đợc
những sai lầm đó trong khi làm bài tập .
tài liệu tham khảo
GV : Đặng Ngọc Liên
11
Trờng THPT Ngọc Hồi Kon Tum .
SKKN : Một số sai lầm thờng gặp của học sinh khi tính tích phân
1. Kiến thức cơ bản giải tích 12 ( Phan Văn Đức- Đỗ Quang Minh Nguyễn
Thanh Sơn Lê Văn Tr ờng NXB ĐH Quốc gia thành phố HCM - 2002).
2. Phơng pháp giải toán Tích phân và Giải tích tổ hợp ( Nguyễn Cam NXB
Trẻ ).
3. Phơng pháp giải toán Tích phân (Trần Đức Huyên Trần Chí Trung NXB
Giáo Dục).
4. Sách giáo khoa Giải tích 12 (Ngô Thúc Lanh Chủ biên NXB GD 2000)
5. Phơng pháp giải toán Tích phân ( Lê Hồng Đức Lê Bích Ngọc NXB Hà
Nội 2005).
6. Sai lầm thờng gặp và các sáng tạo khi giải toán ( Trần Phơng và Nguyễn
Đức Tấn NXB Hà Nội 2004).
GV : Đặng Ngọc Liên
12
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét